Najstariji podatak o školi u Risnu odnosi se na stari Rizon iz II vijeka p.n.e. Medu mnogim natpisima iz bogatog arheološkog lokaliteta Risna nađen je i jedan, u arheologiji nazvan Dionizijev natpis. Na ploči od bijelog mramora (29 x 28 cm) uklesan je natpis na grčkom jeziku koji u prevodu glasi:”Dionizije Irenejev, Jezus; retor, sretno svrši (umre) od 74. godine … postavlja Epiktezis, oslobođena robinja”. Ovaj natpis je danas u potpornom zidu župske crkve (Bogorodične) u Prčanju. Natpis je značajan jer se na njemu pominje retor (govornik, učitelj) koje su imali kulturno-civilizacijski centri, a istovremeno označava postojanje neke vrste obrazovne ustanove. Slijedeći podatak je nađen u Katastru Risna iz 1704. godine u kome se pominje “Isacg mistro di scola” kao vlasnik kuće i 120 tavola zemlje. Pošto Mlečani nijesu dozvoljavali masovno otvaranje škola za narod, pretpostavka je da je ova škola bila privatna. U istom Katastru se pominje i “Mitar Dascalo detto Pisaz” rodočelnik ikonopisne slikarske škole Dimitrijević – Rafailović koja je radila u Risnu skoro tri vijeka.
Krajem 1749.g. školu u Risnu je vodio Patrenije Pavlović, episkop posvećenja. U svom Dnevniku, opisujući tamnovanje u Skadru iz koga se oslobodio otkupom, bilježi: “I ne vozmog k tomu terpjeti putešestvenoje ozlobljenije i radni po nogah mojim, prinudihsja ostati v primorski varoš Risan zovomij i tamo sostavih školu 30 učenikov. Za jedno ljeto, po sem preseli me pokojni vladika Stefan na Savine v manastirje…” Godine 1784.g. u Risnu je postojala škola koju je vodio Kiril, jerođakon hopovski. Za njega se zna da je duže vrijeme učiteljevao. Pominje ga i Mitropolit Petar u svojoj poslanici Rošnjanima od 25. aprila 1808. godine. Krajem XVIII vijeka Stefan Vrčević je bio opštinski pisar i učitelj u Risnu. Njegov sin, znameniti Vuk Vrčević , u svojoj autobiografiji navodi da je osnovnu pismenost savladao “bez ikakvog pedagoškog metoda…. uz mnoštvo risanskih učenika”, kod svoga oca učitelja. Kasnije će i sam Vuk ( od aprila 1848. do septembra 1850. godine) biti učitelj u svom rodnom mjestu. U školi je imao 63 učenika koje je učio “u dvostrukom jeziku”. Sveštenički i učiteljski poziv je bio tradicija i u porodici Popović. Jovan Popović, otac znamenitog Vuka Popovića bio je i pop i učitelj. Naslijedio ga je sin Vuk od 1831-1834. godine, zatim Petar Popović 1835. godine kao “djetonastavnik risanskij” i učitelj Savo Popović koji je radio 1847. godine. Sava Nakićenović (Boka, 1913.g.) označava 1844. godinu kao godinu osnivanja škole u Risnu, vjerovatno imajući u vidu kontinuiranu nastavu po usvojenim pedagoškim principima za većinu škola u Boki. Međutim, ne može se osporiti duga školska tradicija u Risnu, pa bilo da je škola radila pri crkvi, manastiru Banja ili kao privatna. Oko 1860. godine osnovna škola u Risnu se pominje kao “Srpska muška škola” u kojoj su učiteljovali Petar Midžar, član episkopske konzisterije u Kotoru i Špiro Kovačević, nadzornik crnogorskih škola. Odlukom crkvenih i državnih vlasti 1861.g. za nadzornika osnovnih škola na području risanske opštine postavljen je Nikola Berberović, Morinjanin. Ovaj podatak govori o postojanju više osnovnih škola na širem risanskom području. Tokom XIX vijeka je materijalno bogatstvo velikog broja risanskih trgovačkih i pomorskih familija odigralo značajnu ulogu u formiranju duhovne klime u mjestu.
Godine 1835. formirana je Biblioteka Opštestva Risanskoga, prva i najstarija narodna biblioteka u Crnoj Gori, a pratile su je mnogobrojne privatne biblioteke koje su se formirale na principu prenumeracije za sva značajnija djela štampana na našem jeziku. Veliku ulogu u tom poslu je odigrao Vuk Karadžić sa svojim risanskim prikupljačima blaga na narodnom jeziku Vukom Popovićem i Vukom Vrčevićem. Poznate su samo neke od mnogobrojnih zgrada u kojima je škola radila: Kazerna pri vrhu Gabele, Kuća Mila Radovića i, zadužbina Petra Vidovića na vrhu Gabele. Zna se da je škola u Risnu do kraja XIX vijeka bila četvororazredna, do 1928. godine radila je kao šestorazredna, zatim, ponovno kao četvororazredna, a od 1951.g. škola je osmogodišnja. Godine 1928. počela je da radi Građanska škola (rang niže gimnazije) sa 36 daka do 1944.g. Njeni prvi nastavnici su bili: Nikola Manojlović, nastavnik srpskog jezika i direktor, njegova supruga nastavnik istorije i geografije (došli su u Risan iz Knina) i Špiro Milinović, nastavnik matematike, fizike i hemije. Poslije Manojlovića, do 1941.g. direktor škole je bio Ilija Milutinović. Ostali učitelji ove škole su bili: Jovo Jovović, Slavka Kosović ud. Jovović, Lazar Rajčić i Desanka Ćelović. Od 1927 -1933. g. učiteljevao je Filip Marković. Od 1956-79 škola je imala odjeljenja i učitelje pri Specijalnoj bolnici “Vaso Ćuković”u Risnu za bolesnike školskog uzrasta koji su tu liječeni na duže vrijeme.
Od 15. februara 1959. godine škola nosi ime po Veljku Drobnjakoviću, prvoborcu iz II svjetskog rata, a od školske 1963/64. postaje matična škola objedinjavajući rad starih škola Risna, Perasta, Morinja i Krivošija.